Relasi dan Fungsi

Bagaimana Bab Ini Tersusun?

Tujuan pembelajaran. Setelah mempelajari bab ini, kamu dapat memahami himpunan, relasi, dan fungsi; menyajikan relasi dan fungsi dalam berbagai bentuk; menentukan nilai dan grafik fungsi; serta menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan relasi dan fungsi.

Himpunan

Semua relasi dan fungsi dibangun di atas himpunan. Karena itu bab ini dimulai dari sini.

Contoh: Silsilah Bani Madhuri

Anak-anak dari Bani Madhuri membentuk himpunan A = {Sulastri, M. Idris, A. Halim, M. Tohir}, sehingga n(A) = 4. Cucu-cucu Bani Madhuri membentuk himpunan B dengan n(B) = 8. Setiap nama dapat dipastikan termasuk atau tidak termasuk — itulah syarat "dapat diidentifikasi dengan jelas".

Tiga Cara Menyajikan Himpunan

Himpunan Berhingga dan Tak Berhingga

Himpunan berhingga memiliki anggota yang dapat dihitung sampai habis, misalnya {2, 3, 5, 7, 11, 13} dengan n = 6. Himpunan tak berhingga anggotanya tidak dapat dihitung sampai habis, misalnya himpunan semua bilangan asli {1, 2, 3, 4, …}.

Ingat  Relasi dan fungsi selalu bekerja pada himpunan: ada himpunan asal (domain) dan himpunan tujuan (kodomain).

Relasi

Relasi menghubungkan anggota satu himpunan dengan anggota himpunan lain.

Contoh Utama — Mata Pelajaran Favorit (Tabel 4.1)

A = {Aisyah, Burhan, Cintia, Durahman, Eiman}
B = {Matematika, IPA, IPS, Bahasa Inggris, Kesenian, Keterampilan, Olahraga}

Pasangan berurutannya: {(Aisyah, Matematika), (Aisyah, IPA), (Burhan, IPA), (Burhan, IPS), (Burhan, Kesenian), (Cintia, Keterampilan), (Cintia, Olahraga), (Durahman, Bahasa Inggris), (Durahman, Kesenian), (Eiman, Matematika), (Eiman, IPA), (Eiman, Keterampilan)}.

Perhatikan: satu siswa bisa menyukai lebih dari satu mata pelajaran. Karena itu relasi ini bukan fungsi — dan itu wajar, relasi memang lebih umum daripada fungsi.

Lab Diagram Panah — Mata Pelajaran Favorit

Klik nama siswa untuk menyorot panahnya. Ganti tampilan untuk melihat tiga cara penyajian relasi yang sama.

Contoh 4.4 — Relasi "Kurang Dari"

A = {2, 3, 5}, B = {1, 4, 5, 6}. Relasi dari A ke B adalah "kurang dari".

1. Pasangan berurutan: {(2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (5, 6)} — karena 2 < 4, 2 < 5, 2 < 6, 3 < 4, 3 < 5, 3 < 6, dan 5 < 6.
2. Domain = {2, 3, 5} (semua anggota A yang berpasangan).
3. Kodomain = {1, 4, 5, 6} (seluruh himpunan B).
4. Range = {4, 5, 6} (anggota B yang benar-benar berpasangan; 1 tidak berpasangan dengan siapa pun).

Contoh Lain — Restoran ABC

A = {Andino, Natalia, Tauiq, Panggabean, Nyoman}, B = {nasi goreng, sate, bakso, rawon, soto, rujak cingur}. Relasi "makanan favorit" menghubungkan setiap orang dengan makanan yang ia sukai — lagi-lagi satu orang bisa menyukai lebih dari satu makanan.

Fungsi

Fungsi adalah relasi yang lebih ketat aturannya — dan justru karena itu ia bisa dipakai menghitung.

Kode Sandi: "KUNCINYA LIHAT DI BAWAH POHON MAWAR"

Bayangkan pesan rahasia yang setiap hurufnya diganti tepat satu huruf lain. Itulah gambaran fungsi: satu masukan, satu keluaran yang pasti. Jika satu huruf bisa menjadi dua huruf berbeda, sandinya tidak bisa dibaca — begitu pula relasi yang bukan fungsi.

Lima Cara Menyajikan Fungsi — f(x) = 2x

Domain P = {1, 2, 3, 4, 5}, kodomain Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, relasi "setengah kali dari" (artinya nilai di Q adalah dua kali nilai di P).

Fungsi atau Bukan?

Tebak setiap kartu, lalu lihat verdict dan alasannya. Aturannya selalu sama: setiap anggota domain harus berpasangan tepat satu kali.

Generator Acak

Buat pasangan acak, lalu periksa otomatis apakah ia fungsi.

Kalkulator Fungsi f(x) = ax + b

Masukkan nilai a, b, dan x — kalkulator menunjukkan langkah substitusinya, bukan hanya hasilnya.

Nilai Fungsi — Contoh 4.8

f(x) = 4x − 3 dengan domain {−2, −1, 0, 1, 2, 3} menghasilkan {−11, −7, −3, 1, 5, 9}.

1. f(−2) = 4(−2) − 3 = −8 − 3 = −11
2. f(−1) = 4(−1) − 3 = −4 − 3 = −7
3. f(0) = 4(0) − 3 = −3
4. f(1) = 4(1) − 3 = 1
5. f(2) = 4(2) − 3 = 5
6. f(3) = 4(3) − 3 = 9  →  daerah hasil = {−11, −7, −3, 1, 5, 9}

Mencari Rumus Fungsi — Contoh 4.10

Diketahui f(−1) = −4 dan f(2) = 5. Tentukan rumus f(x) = ax + b.

1. f(−1) = −4 → −a + b = −4  … (i)
2. f(2) = 5 → 2a + b = 5  … (ii)
3. (ii) − (i): 3a = 9 → a = 3
4. Substitusi a = 3 ke (i): −3 + b = −4 → b = −1
5. Jadi f(x) = 3x − 1. Periksa: f(2) = 6 − 1 = 5 ✓

Contoh 4.9 & 4.11 (ringkas)

• Contoh 4.9: f(x) = 3x + 1 dan f(x) = −2 → 3x + 1 = −2 → 3x = −3 → x = −1.
• Contoh 4.11: f(x) = 4x − 3 dengan domain −2 ≤ x < 1 → f(−2) = −11 dan f(1) = 1 (tidak termasuk, karena x < 1) → daerah hasil −11 ≤ f(x) < 1.

Kalkulator Taksi — B(x) = 3000x + 7500

Tarif taksi: Rp3.000 per km ditambah biaya awal Rp7.500. x = jarak (km), B(x) = tarif (rupiah).

Grafik Fungsi Linear f(x) = ax + b

Geser slider a dan b, lalu perhatikan kemiringan garis dan titik potongnya dengan sumbu.

Korespondensi Satu-satu

Bentuk fungsi yang paling "rapi": tidak ada anggota yang berebut pasangan, dan tidak ada yang menganggur.

Banyaknya korespondensi satu-satu dari himpunan A ke himpunan B yang masing-masing beranggotakan n adalah n! (n faktorial) = n × (n−1) × … × 2 × 1.

• Contoh 4.13: n = 5 → 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 korespondensi.
• Contoh 4.14: M = {−2, −1, 0, 1, 2, 3}, N = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n = 6 → 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 korespondensi.
• Contoh sehari-hari: nomor induk siswa — setiap siswa punya tepat satu nomor induk, dan setiap nomor induk milik tepat satu siswa.

Kalkulator Korespondensi Satu-satu (n!)

Kuis Bab 4 — 10 Soal

Soal-soal di bawah ini diambil dari Uji Kompetensi Bab 4 dan latihan bab (relasi "kurang dari", nilai fungsi, taksi, dan korespondensi satu-satu). Jawab satu per satu — pembahasan muncul langsung setelah kamu memilih. Skor terbaikmu tersimpan di perangkat ini.

Skor terbaik: belum ada